Vzorec na výpočet senzitivity jadra

  • Uvažujme jadro dĺžky k (ako v programe BLAST pre nukleotidy, na prednáške sa dĺžka jadra označovala w, teraz k)
  • Uvažujme pravdepodobnostný model zarovnania, v ktorom má každá pozícia pravdepodobnosť p, že bude zhoda a (1-p), ze bude nezhoda alebo medzera, zarovnanie ma dlzku L
  • Nahodna premenna $X_i = 1$ ak na pozicii i je zhoda, 0 inak
  • Nahodna premenna $Y_i = 1$ ak na pozicii i zacina jadro, t.j. ak $X_i=1, X_{i+1}=1, \dots, X_{i+k-1}=1$
  • $P(Y_i = 1) = p^k$, nakolko $X_i$ su navzajom nezavisle
  • Nech $Y = \sum_{i=1}^{L-k-1} Y_i$
  • Z linearity strednej hodnoty vieme lahko odhadnut $E(Y) = (L-k+1)p^k$
  • Nas ale zaujima P(Y>0) = 1-P(Y=0)
  • $P(Y=0) = P(Y_1=0 \wedge \dots \wedge Y_{L-k+1}=0)$
  • Preco neplati, $P(Y=0) = P(Y_i = 0)^{L-k+1}$?
    • Jednotlive $Y_i$ nie su nezavisle, napr. $P(Y_{i+1}=1|Y_i=1)=p$
    • V postupnosti $Y_i$ sa jednotky maju tendenciu zhlukovat spolu
  • Pravdepodobnost nepritomnosti jadra $P(Y=0)$ ale vieme spocitat dynamickym programovanim
  • Nech $A[n]$ je pravdepodobnost nepritomnosti jadra v prvých $n$ stlcoch zarovnania ($0\le n\le L$)
  • Budeme rozlisovat pripady podla toho, kolko je na konci $X_1,\dots,X_n$ jednotiek
    • Tento pocet moze byt 0..k-1 (ak by bol $\ge k$, mali by sme vyskyt jadra)

$A[n] = \left\{\begin{array}{ll} 1 & \mbox{ak } n < k\\\
\sum_{i=0}^{k-1} p^i (1-p)A[n-i-1] & \mbox{ak } n \ge k \end{array}\right.$

  • V druhom riadku $p^i(1-p)$ zodpoveda $P(X_1…X_n\mbox{ konci presne }i\mbox{ jednotkami})$
  • A[n-i-1] je $P(X_1…X_{n-i-1}\mbox{ neobsahuje jadro})$, ale to je to iste ako $P(X_1…X_n\mbox{ neobsahuje jadro }| X_1…X_n\mbox{ konci presne }i\mbox{ jednotkami})$

Minimizery: ako ušetriť pamäť a čas

  • k-merom nazveme k za sebou iducich pismen v nejakom retazci (nukleotidov DNA)

  • Zakladne pouzite jadier: pri porovnavani dvoch sekvencii (alebo mnozin sekvencii) uloz vsetky k-mery jednej sekvencie do slovnika (napr. hash tabulky), potom prechadzaj vsetky k-mery druhej sekvencie a hladaj ich v slovniku

  • Priklad k=5,
    • DB vľavo, k-mery a ich pozície uložené do slovníka,
    • query vpravo, k-mery hľadané v slovníku, šípkou vyznačené nájdené k-mery (jadrá)
AGTGGCTGCCAGGCTGG    cGaGGCTGCCtGGtTGG  
AGTGG,0              CGAGG              
 GTGGC,1              GAGGC             
  TGGCT,2              AGGCT <-          
   GGCTG,3              GGCTG <-
    GCTGC,4              GCTGC <-          
     CTGCC,5              CTGCC <-       
      TGCCA,6              TGCCT        
       GCCAG,7              GCCTG        
        CCAGG,8              CCTGG
         CAGGC,9              CTGGT     
          AGGCT,10             TGGTT    
           GGCTG,11             GGTTG   
            GCTGG,12             GTTGG
  • Trik na znizenie potrebnej pamate (napr. program BLAT): ukladaj iba kazdy s-ty k-mer z prvej sekvencie, potom hladaj vsetky k-mery z druhej
  • Trochu znizi aj senzitivitu, ale kedze jadra sa zhlukuju, mame sancu aspon jedno jadro zo zhluku najst
  • Zarucene najdeme jadro, ak mame aspon k+s-1 zhod za sebou
  • Mohli by sme v query tiež hľadať iba každý s-ty k-mer?
    • Čo ak by db a query boli to isté, iba v query by chýbalo prvé písmeno?

Priklad k=5, s=3, k-mery nalavo sa ulozia, k-mery napravo sa hladaju, najde sa jedno jadro

AGTGGCTGCCAGGCTGG    cGaGGCTGCCtGGtTGG  
AGTGG,0              CGAGG              
   GGCTG,3            GAGGC             
      TGCCA,6          AGGCT
         CAGGC,9        GGCTG <-        
            GCTGG,12     GCTGC          
                          CTGCC         
                           TGCCT        
                            GCCTG       
                             CCTGG
                              CTGGT
                               TGGTT    
                                GGTTG   
                                 GTTGG
  • Prefikanejsia idea je minimizer: uvazuj vsetky skupiny s po sebe iducich k-merov (sliding window), v kazdej skupine najdi abecedne najmensi k-mer (minimizer) a uloz do slovnika
  • Pri posune okna o jedno doprava casto najmensi k-mer zostava ten isty a netreba ho znovu ukladat, cim sa usetri pamat (a čas)
  • Rozdiel je pri hladani: v slovniku nehladame vsetky k-mery druhej sekvencie, ale tiez len minimizery, co moze usetrit cas
  • Zarucene najdeme jadro, ak mame aspon k+s-1 zhod za sebou
  • Priklad k=5, s=3, vlavo: do slovnika sa ulozia k-mery s cislom; vpravo: v slovniku sa hladaju k-mery s hviezdickou, najde sa jedna zhoda
AGTGGCTGCCAGGCTGG    cGaGGCTGCCtGGtTGG  
AGTGG,0              CGAGG              
 GTGGC                GAGGC             
  TGGCT                AGGCT*           
   GGCTG,3              GGCTG           
    GCTGC,4              GCTGC          
     CTGCC,5              CTGCC* <--    
      TGCCA                TGCCT        
       GCCAG                GCCTG       
        CCAGG,8              CCTGG*     
         CAGGC,9              CTGGT*    
          AGGCT,10             TGGTT    
           GGCTG                GGTTG*  
            GCTGG                GTTGG
  • Obzvlast vyhodne ak prva a druha mnozina sekvencii su ta ista, napr. pri hladani prekryvov v citaniach pri skladani genomu. Kazde citanie ma mnozinu minimizerov, ktore sa pouziju ako kluce v slovniku, hodnoty su zoznamy citani. Dvojice citani zdielajuce nejaky minimizer (binning) sa dostanu do jedneho zoznamu a budu uvazovane pri vypocte vzajomneho prekryvu
  • V praxi sa do slovnika neuklada lexikograficky najmensi k-mer, ale kazdy k-mer sa prehasuje nejakou funkciou f a zoberie sa ten s minimalnou hodnotou
  • Dovod je, ze sa chceme vyhnut tomu, aby minimizermi boli casto sekvencie typu AAAAA, ktore su v biologickych sekvenciach nadreprezentovane a casto nie su funkcne zaujimave
  • Priemerna hustota minimizerov v sekvencii pri nahodnom hashovani je cca 2/(s+1)⁠ (v BLATe bola nizsia, 1/s)
  • Minimizery vyuziva napr. aj minimap2, velmi popularny nastroj na zarovnavanie citani navzajom a ku genomom
    • na zarovnanie nanoporovych citani ku genomu pouziva k=15, s=10, prekryvy v nanoporovych citaniach k=15, s=5, porovnanie genomov s identitou nad 80% k=19, s=10

Literatúra

MinHash

Odbočka do analýzy web-stránok: Podobnosť textov

Majme množinu webových stránok (webová stránka je postupnosť slov). Chceme nájsť medzi nimi dvojice podobných. Ako môžeme definovať podobnosť dvoch textov?

Jeden zo spôsobov ako to spraviť je pozrieť sa na počet slov spoločných pre jednotlivé dvojice stránok. Očakávame, že čím viac spoločných slov majú, tým sú podobnejšie. Túto mieru podobnosti formalizuje matematický pojem Jaccardovej miery podobnosti.

Nech $U$ je univerzum slov a nech $A, B \subseteq U$ sú jeho podmnožinami (t.j. množiny slov dvoch textov). Potom Jaccardova miera podobnosti $J(A, B) = \frac{|A \cap B|}{|A \cup B|}$

Táto miera nadobúda hodnotu 0 iba v prípade, ak množiny sú disjunktné, a hodnotu 1 iba v prípade, že množiny sú totožné. Inak sa jej hodnota nachádza na otvorenom intervale $(0, 1)$, a čím viac spoločných slov majú, tým je jej hodnota vyššia.

Potom otázku “Ktoré dvojice textov sú podobné?” môžeme preformulovať napríklad ako “Ktoré dvojice textov majú Jaccardovu mieru podobnosti vyššiu ako nejaký prah $\alpha$?”.

Ako rýchlo by sme vedeli spočítať Jaccardovu mieru pre dve množiny slov, každú s $n$ prvkami?

Exaktný výpočet Jaccardovej miery podobnosti nie je vždy dostatočne rýchly pre účely konkrétnej aplikácie, takže logickým riešením je pokúsiť sa jej hodnotu vypočítať iba približne (t.j. aproximovať).

Prvá idea: aproximácia vzorkovaním

  • Ak by sme vedeli vzorkovať z $A \cup B$ prvky $u_1, u_2, \dots, u_s$ (rovnomerne, nezavisle), a pre kazdy prvok $u_i$ by sme vedeli rychlo zistit, ci patri do prieniku, mohli by sme odhadnut $J(A, B)$ pomocou nahodnej premennej $X = \frac{1}{s}\sum_{i=1}^s X_i$ kde $X_i=1$ ak $u_i$ patri do prieniku a $X_i=0$ inak
  • Toto sa podoba na zistovanie oblubenosti politika prieskumom verejnej mienky, $u_1, u_2, \dots, u_s$ su “respondenti”
  • Pre kazde $X_i$ mame $E(X_i) = 0 \cdot Pr[X_i = 0] + 1 \cdot Pr[X_i = 1] = Pr[X_i = 1] = J(A, B)$.
  • Z linearity strednej hodnoty $E(X) = E(\frac{1}{s}\sum_{i=1}^s X_i) = \frac{1}{s}\sum_{i=1}^s E[X_i] = J(A, B)$.
  • Z toho vyplýva, že náhodná premenná $X$ je nevychýleným odhadom Jaccardovej miery.
  • V štatistike základnou mierou kvality nevychýleného odhadu je jeho disperzia, pričom $Var(X) \le \frac{1}{4s}$ (odvodenie pozri nižšie)
  • Pri zvyšujúcej veľkosti vzorky s teda klesá disperzia. Podobná situácia ako pri prieskumoch verejnej mierky, kde pri väčšom súbore respondentov dostaneme dôveryhodnejšie výsledky.

Problémy:

  • nie je ľahké rovnomerne vzorkovať z $A \cup B$
  • na zisťovanie, či $u_i$ je v prieniku potrebujeme mat reprezentaciu $A$ a $B$ v pamati, co moze byt problem pri velkej kolekcii dokumentov
  • idea: chceme dostat nejake ine premenne $X_i$, ktore budu nezavisle a ich $E(X_i)=J(A,B)$ a ktore sa budu lahsie pocitat

Aproximácia Jaccardovej miery: MinHash

Budeme mať náhodné hašovacie funkcie $h_1, h_2, \dots, h_s$.

O každej hašovacej funkcii predpokladáme, že ak ju použijeme na nejakú množinu $A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}$, tak $h(a_1), h(a_2), \ldots, h(a_n)$ bude náhodná permutácia množiny $A$.

Pre množinu $A = {a_1, a_2, \ldots, a_n}$ a hašovaciu funkciu h je $minHash_{h}(A)$ je definovaný nasledovne:

$minHash_h(A) := \min{h(a_1), h(a_2), \ldots, h(a_n)}$

Keďže $h$ je náhodná hašovacia funkcia, tak sa na hodnotu $minHash(A)$ môžeme pozerať ako na náhodnú premennú, ktorá reprezentuje rovnomerne náhodný výber prvku z množiny $A$.

Nech $X_i$ je náhodná premenná, ktorá nadobúda hodnotu 1, ak $minHash_{h_i}(A) = minHash_{h_i}(B)$, a inak hodnotu 0. Potom $E[X_i] = J(A, B)$, lebo celkovo máme $|A\cup B|$ prvkov a $J(A,B) = |A\cap B|/|A\cup B|$ značí, aké percento z nich je v prieniku.

Takýmito hodnotami $X_i$ teda nahradíme náhodné vzorky diskutované vyššie.

Algoritmus:

  • Pre kazdy dokument hasuj kazde slovo s funkciami, najdi minHash pre kazdu funkciu a uloz vektor tychto hodnot ako “sketch” dokumentu. Cas vypoctu pre dokument s n slovami je $O(ns)$
  • Pre dva dokumenty porovname vektor po zlozkach a ak najdeme $x$ zhod, $J(A,B)$ odhadneme ako $x/s$. Cas vypoctu $O(s)$
  • Vieme si tiez pre kazdu hasovaciu funkciu spravit slovnik, ktory mapuje minHash do zoznamu dokumentov a budeme porovnavat iba dvojice dokumentov, ktore sa niekde dostali do toho isteho zoznamu (t.j ich odhad $J(A,B)$ bude nenulovy)

Odhad casu a pamate:

  • Majme N dokumentov, kazdy s M slovami dlzky w
  • Vypocet vsetkych sketchov potrebuje cas O(NMsw)
  • Sketche zaberaju pamat O(Ns), dokumenty uz nemusime dalej drzat v pamate (pri vopcte sketchov nam staci vzdy mat v pamati jeden dokument)
  • Porovnanie kazdej dvojice dokumentov trva $O(N^2s)$

Pre porovnanie, trivialny vypocet presnej Jaccardovej miery pomocou hasovania by trval $O(N^2Mw)$ a vsetky dokumenty zaberaju pamat $O(NMw)$. Ak je teda $N$ velke a $s$ od dost mensie ako $M$, usetrime cas aj pamat.

Alternativa: namiesto s roznych funkcii pouzijeme iba jednu a vezmeme nielen minimum, ale s najmensich prvkov. Potom $J(A,B)$ odhadneme pomocou $|S_A\cap S_B|/s$ kde $S_A$ je mnozina hodnot v sketchi mnoziny $A$. To usetri cas pri vypocte sketchu, lebo nemusime hashovat vsetky prvky s krat.

Literatúra

Hľadanie podobných sekvencií

Ako “slová” použijeme všetky k-mery danej sekvencie. Potom na hľadanie dvoch podobných sekvencií z množiny sekvencií môžeme použiť minhash.

  • Napríklad Mash používa k=21, s=1000 (s najmenších v jednej funkcii) na porovnávanie genómov, sketch má asi 8kb na genóm (genóm má milióny alebo miliardy nukleotidov)

Literatúra

Výpočet disperzie

Binarna premenna $X_i$, kde $P(X_i=1)=p$. Disperzia $Var(X_i) = E(X_i^2) - (E(X_i))^2$. Spočítajme si postupne obe hodnoty.

$E(X_i^2) = 0^2 \cdot Pr[X_i = 0] + 1^2 \cdot Pr[X_i = 1] = Pr[X_i = 1] = p$

$(E(X_i))^2 = p^2$

Čiže $Var(X_i) = p - p^2$. Aká je maximálna možná hodnota disperzie?

Táto otázka je ekvivalentná otázke “Aké je maximum funkcie $f(x) = x - x^2$ na intervale $[0, 1]$?”. Pre určenie extrémov hladkých funkcií treba nájsť korene jej prvej derivácie. Derivácia tejto funkcie je $f’(x) = 1 - 2x$, jej koreň je hodnota $0.5$. Hodnota funkcie v tomto bode je rovná $0.25$. Čiže $Var(X_i) \leq 0.25$.

$X =\frac{1}{s}\sum_{i=1}^s X_i$ kde $X_i$ su nezavisle premenne a každá z nich má strednú hodnotu $E(X_i) = E(X) = p$ a rovnakú disperziu $Var(X_i) = Var(X) = p - p^2$. Premenná $X$ je ich priemer.

Pozrieme sa na jej disperziu: $Var(X) = Var\left(\frac{X_1+X_2+\ldots+X_s}{s}\right) = \frac{1}{s^2} Var(X_1+X_2+\ldots+X_s) \overset{*}{=} \frac{1}{s^2} [Var(X_1) + \ldots Var(X_s)] = \frac{1}{s^2} s \cdot Var(X_i) = \frac{Var(X_i)}{s} \leq \frac{1}{4s}$

(*) tento prechod je možný len kvôli tomu, že premenné $X_i$ sú nezávislé.

Vidíme teda, že disperziu (resp. kvalitu) môžeme potlačiť na ľubovoľne malú postupným zvýšením počtu hashov.

Všimnite si, že premenná $s \cdot X$ (t.j. nie priemer, ale súčet jednotlivých $X_i$) je súčtom nezávislých indikátorov s rovnakým rozdelením, a teda má binomické rozdelenie s parametrami $s$ a $p$.