• Myšlienkový experiment, v ktorom vystupuje náhoda, napr. hod ideálnou kockou/korunou
  • Výsledkom experimentu je nejaká hodnota (napr. číslo, alebo aj niekoľko čísel, reťazec)
  • Túto neznámu hodnotu budeme volať náhodná premenná
  • Zaujíma nás pravdepodobnosť, s akou náhodná premenná nadobúda jednotlivé možné hodnoty
  • T.j. ak experiment opakujeme veľa krát, ako často uvidíme nejaký výsledok

Príklad 1: hod kockou

Hodíme idealizovanou kockou, premenná X bude hodnota, ktorú dostaneme

  • Možné hodnoty 1,2,..,6, každá rovnako pravdepodobná
  • Píšeme napr. $\Pr(X=2)=1/6$

Príklad 2: Dva hody kockou

Hodíme 2x kockou, náhodná premenná X bude súčet hodnôt, ktoré dostaneme

  • Možné hodnoty: 2,3,…,12
  • Každá dvojica hodnôt (1,1), (1,2),…,(6,6) na kocke rovnako pravdepodobná, t.j. pravdepodobnosť 1/36
  • Súčet 5 môžeme dostať 1+4,2+3,3+2,4+1 - t.j. Pr(X=5) = 4/36
  • Súčet 11 môžeme dostať 5+6 alebo 6+5, t.j. Pr(X=11) = 2/36
  • Rozdelenie pravdepodobnosti: (tabuľka udávajúca pravdepodobnosť pre každú možnú hodnotu)
hodnota k:    2     3     4     5     6     7     8     9     10    11    12
Pr(X=k):    1/36  2/36  3/36  4/36  5/36  6/36  5/36  4/36  3/36  2/36  1/36
  • Overte, ze súčet pravdepodobností je 1

Stredná hodnota E(X)

  • priemer z možných hodnôt váhovaných ich pravdepodobnosťami
  • v našom príklade $E(X) = 2\cdot \frac{1}{36} + 3\cdot \frac{2}{36}+ 4\cdot \frac{3}{36}+ 5\cdot \frac{4}{36}+ 6\cdot \frac{5}{36}+ 7\cdot \frac{6}{36}+ 8\cdot \frac{5}{36}+ 9\cdot \frac{4}{36}+ 10\cdot \frac{3}{36}+ 11\cdot \frac{2}{36}+ 12\cdot \frac{1}{36}=7$
  • Ak by sme experiment opakovali veľa krát a zrátali priemer hodnôt X, ktoré nám vyšli, dostali by sme číslo blízke E(X)
  • Iný výpočet strednej hodnoty:
    • $X=X_1+X_2$, kde $X_1$ je hodnota na prvej kocke a $X_2$ je hodnota na druhej kocke
    • $E(X_1) = 1\cdot \frac{1}{6} + … + 6\cdot \frac{1}{6} = 3.5$, podobne aj $E(X_2) = 3.5$
    • Platí, že $E(X_1+X_2)=E(X_1) + E(X_2)$ a teda $E(X) = 3.5 + 3.5 = 7$
    • Pozor, pre súčin a iné funkcie takéto vzťahy platiť nemusia, napr. $E(X_1 \cdot X_2)$ nie je vždy $E(X_1) \cdot E(X_2)$

Pravdepodobnostný model náhodnej sekvencie

  • Napríklad chceme modelovať náhodnú DNA sekvenciu dĺžky n s obsahom GC 40%
  • Máme vrece s guľôčkami označenými A,C,G,T, pričom guľôčok označených A je 30%, C 20%, G 20% a T 30%.

  • Vytiahneme guľôčku, zapíšeme si písmeno, hodíme ju naspäť, zamiešame a opakujeme s ďalším písmenom atď, až kým nevygenerujeme n písmen

  • Vytiahnime z mechu 2x guľôčku. Prvé písmeno, ktoré nám vyjde, označme $X_1$ a druhé $X_2$
  • $\Pr(X_1=A) = 0.3$, $\Pr(X_2=C)=0.2$
  • $\Pr(X_1=A\mbox{ a }X_2=C) = \Pr(X_1=A)\cdot \Pr(X_2=C) = 0.3\cdot 0.2 = 0.06$
    • T.j. šanca, že dostaneme sekvenciu AC po dvoch ťahoch je 6%
    • Ak rátame pravdepodobnosť, že sa dve nezávislé udalosti stanú súčasne, ich pravdepodobnosti násobíme. V tomto prípade to, či $X_1=A$ je nezávislé od toho, či $X_2=C$
  • $\Pr(X_1\mbox{ je A alebo C}) = \Pr(X_1=A)+\Pr(X_1=C) = 0.3+0.2 = 0.5$
    • Pravdepodobnosť, že prvé písmeno bude A alebo C je 50%
    • Pravdepodobnosti navzájom sa vylučujúcich udalostí ($X_1=A$ a $X_1=C$) sa môžu sčítať, čím dostaneme pravdepodobnosť, že aspoň jedna z nich nastane
  • $\Pr(\mbox{v sekvencii je aspoň jedno A}) = \Pr(X_1=A\mbox{ alebo }X_2=A)$ nemôžeme počítať ako $\Pr(X_1=A)+\Pr(X_2=A)$, lebo sa navzájom nevylučujú a prípad, že $X_1=A$ a $X_2=A$ by sme započítali dvakrát
  • Správne je $\Pr(X_1=A \,\mathrm{alebo}\, X_2=A)$ $= \Pr(X_1=A) + \Pr(X_1 \ne A \,\mathrm{a}\, X_2=A)$ $= \Pr(X_1=A) + \Pr(X_1 \ne A) \cdot \Pr(X_2=A)$ $= 0.3+0.7\cdot 0.3 = 0.51$
  • $\Pr(X_1=X_2) = \Pr(X_1=X_2=A) + \Pr(X_1=X_2=C) + \Pr(X_1=X_2=G) + \Pr(X_1=X_2=T)$ $= 0.3\cdot 0.3+0.2\cdot 0.2+0.2\cdot 0.2+0.3\cdot 0.3 = 0.26$
  • Ak u označíme pravdepodobnosť $u = \Pr(X_1=A)=\Pr(X_1=T)=\Pr(X_2=A)=\Pr(X_2=T)$ a $v=\Pr(X_1=C)=\Pr(X_1=G)=\Pr(X_2=C)=\Pr(X_2=G)$, aký bude vzorec pre $\Pr(X_1=X_2)$?

Príklad použitia modelu

Máme krátky primer AACAT. Koľko bude mať v priemere výskytov v sekvencii dĺžky 1000 v našom modeli?

  • Pravdepodobnosť, ze AACAT je v náhodnej sekvencii hneď na začiatku je $\Pr(X_1=A\mbox{ a }X_2=A\mbox{ a }X_3=C\mbox{ a }X_4=A\mbox{ a }X_5=A)$ $= 0.3\cdot 0.3\cdot 0.2\cdot 0.3\cdot 0.3 = 0.00162$
  • Rovnaká pravdepodobnosť aj na pozícii 2,3,…,996
  • Nech V je počet výskytov v celej sekvencii (náhodná premenná s možnými hodnotami 0,1,…,996, aj keď napr. 996 to určite nemôže byť)
  • Ideálne by sme chceli spočítať celú tabuľku pravdepodobností pre $V$, ale uspokojíme sa aj so strednou hodnotou $E(V)$
  • Nech $V_i$ je počet výskytov na pozícii i ($V_i$ je vždy 0 alebo 1)
  • $V = V_1+V_2+\dots+V_{996} = \sum_{i=1}^{996} V_i$
  • $E(V) = E(V_1)+E(V_2)+\dots+E(V_{996}) = 996 E(V_1)$
  • $E(V_1) = 0\cdot \Pr(V_1=0)+1\cdot \Pr(V_1=1) = \Pr(V_1=1) = 0.00162$
  • $E(V) = 996\cdot 0.00162 = 1.61352$
  • Takže primer AACAT sa bude v náhodnej sekvencii dĺžky 1000 s 40% obsahom GC vyskytovať v priemere cca 1,6 krát
  • Primery bývajú dlhšie, takže šanca náhodných výskytov je oveľa menšia, čo je to, čo vačšinou chceme (chceme primer cieliť na konkrétnu pozíciu, nie na veľa náhodných zhôd)

Použitie pravdepodobnosti na analýzu potrebného pokrytia pri sekvenovaní

Pozri cvičenia pre informatikov